タニヤマ・志村予想

谷山・志村予想Taniyama–Shimura conjecture楕円曲線モジュラー性定理modularity theorem

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『フェルマーの最終定理』で「タニヤマ・志村予想」を読む

サイモン・シン

ケン・リベットがフェルマー定理をタニヤマ・志村予想の帰結として示したことで、証明の方向が定まった。

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フェルマーが本の余白に残した整数の問題は、整数だけを見つめていても解けなかった。証明への橋になったのは、三百年以上あとに日本で育った、楕円曲線とモジュラー形式を結ぶ予想だった。

別々の棚にあった二つの数学

楕円曲線は、方程式で表される曲線を手がかりに有理数や整数の性質を調べる。一方、モジュラー形式は複素解析の世界に現れる、強い対称性を備えた関数だ。見た目も育った分野も違う。

1950年代、谷山豊と志村五郎の仕事から「有理数体上の楕円曲線はモジュラー形式に対応する」という予想が育った。のちに精密化され、現在はモジュラー性定理と呼ばれる。二つの対象が似ているという話ではない。片方について得た情報を、もう片方の言葉へ移せるという橋の主張である。

反例があるなら、奇妙な曲線ができる

この橋をフェルマーの最終定理へ向けたのは、別の連鎖だった。ゲルハルト・フライは、もしフェルマーの方程式に反例があるなら、その数から特別な楕円曲線を作れると指摘した。ジャン＝ピエール・セールは、その曲線がモジュラーではないはずだと予想し、ケン・リベットがその予想を証明した。

反例から作られる曲線は「モジュラーではない」はずだった。ところがタニヤマ・志村予想が正しければ、楕円曲線はモジュラーでなければならない。両方は同時に成立しない。つまり、必要な範囲で楕円曲線のモジュラー性を示せれば、フェルマーの最終定理も従う。

ワイルズが証明した範囲

アンドリュー・ワイルズが挑んだのは、この「必要な範囲」だった。1993年に発表した証明には欠陥が見つかったが、リチャード・テイラーとともに修復し、有理数体上の半安定楕円曲線はモジュラーであることを証明した。フライの曲線は半安定なので、これでフェルマーの最終定理には届く。

ただし、ワイルズ一人がすべての楕円曲線についてモジュラー性定理を証明したわけではない。全体はその後も拡張され、2001年にクリストフ・ブルイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーが有理数体上の全楕円曲線について証明した。ひとつの英雄譚に畳むより、橋を架け継いだ仕事として読む方が、この定理の姿に近い。